ほぼ1ヶ月東京に居る状態でも「出張」となり、出張日当を「旅費交通費」で処理しても大丈夫でしょうか？
また、東京マンションの賃貸料を会社で負担してもいいものでしょうか？

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まずは、東京のマンションの賃借料についてお応えいたしますと、これは、契約によって異なってきます。

■長期滞在を目的とする場合
借上社宅になり、「賃借料」または「福利厚生費」（社長の場合は、福利厚生は使用できませんが。）になりますが、ウィークリーマンション等であれば、「旅費交通費」にしても良いかと思います。

ただし、名義は会社名で行われた方が良いでしょう。

■日当について
日当の名目をどのように考えるかです。
宿泊料が上記のような、「賃借料」「旅費交通費」で処理されたとするのであれば、日当は基本的に、食事代負担分程度でしょう。

その辺を、社員を含めて旅費規程等で定めているのであれば、よろしいかと思いますが、社長のみで日当を支給するのであれば、所得とみなされる可能性があります。

また、出張の実績が分かるように、その目的、実績を記入した、出張報告書を作成しておくのも良いでしょう。