会社名が「株式会社○○International」と英語表記です。
ですが、領収書をもらう際に、英語で記入するのが面倒なようなので 正式名称の英語表記ではなく、カタカナで「○○インターナショナル」 と書いてもらうことが今まで何回かあったのですが、 これは書き直してもらった方が良いでしょうか？

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今回の場合は、英語で書くのが大変な方がカタカナで書いてしまった、ということですから特に当社を特定できないというほどの手落ちではありませんから、経費性が否認されるというところまではいかないでしょう。
心配ならば書き直してもらってもよいと思います。