資本金1万円で会社を設立しましたが、300万円に増資する予定です。

後の税務署、市役所、社会保険の手続きの時、資金の額によって何か変わりあるのでしょうか？

手続きは増資後のほうがいいのでしょうか？

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原則、税務署および市役所への届出は２ヶ月以内にする必要がありますので、増資が２ヶ月以内に完了するのであれば、増資をされてから届けられてはいかがですか？

また、社会保険については、加入される時期は、資金の額によっては変わりませんので、社会保険の加入を希望される時期に手続きをされても問題はありません。